कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{1 + y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

चरण 1.4

$1 + y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ में से $1 + y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 1 + y$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 1 + y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$1 + y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.2.1.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y$ से बदलें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

चरण 2.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

चरण 2.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

चरण 2.3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

चरण 2.3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

चरण 2.3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

चरण 3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{x + C} | x |$ में पुन: क्रमित करें.

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

चरण 3.5.4.3

गुणनखंडों को $\pm | x | e^{x + C}$ में पुन: क्रमित करें.

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

चरण 4.2

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{x} | x | - 1$