कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y^{3}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$6 x y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

चरण 1.5.2

$6 x y^{2}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

चरण 2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $3 y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

चरण 2.4.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

चरण 2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{1}{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

चरण 2.5.2

$6 y^{2} x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $6 y^{2} x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $6 y^{2} x$ प्रतिस्थापित करें.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

चरण 5.2

चूँकि $2 y^{3}$ बटे $x$ अचर है, $2 y^{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.3.2

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.3.3

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$3 x^{2} y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

चरण 9.1.2.2

$3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$3 x^{2} y^{2}$ में से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

चरण 9.1.2.2.2

$- \frac{1}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- \frac{1}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

चरण 10.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

चरण 10.5

सरल करें.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

चरण 11

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$