कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 8 x^{2}$ .फिर $d u = 16 x d x$ , तो $\frac{1}{16} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 8 x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$8 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 (2 x)$

चरण 2.3.1.1.4

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

चरण 2.3.2

$\cos (u)$ और $\frac{1}{16}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{16}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{16}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

चरण 2.3.4

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x^{2}$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ में $y$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

चरण 4.2.1.1.2

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

चरण 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

चरण 4.2.1.1.4

$\frac{1}{16}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + K = 8$

चरण 4.2.1.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

$K = 8$

चरण 5

$8$ को $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$8$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

चरण 5.2

$\frac{1}{16}$ और $\sin (8 x^{2})$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$