कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r x}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

चरण 2.4

$e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

चरण 2.4.2

$- 4 e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

चरण 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

चरण 2.5

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r x}$ से विभाजित करें.

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

चरण 3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

चरण 3.3

$\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$4 e^{- x} + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$4 e^{- x}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

चरण 3.3.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

चरण 3.3.1.3

$4 (e^{- x}) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

चरण 3.3.2

$4 (e^{- x} + 1)$ को $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

चरण 3.3.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

चरण 3.3.3

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

चरण 3.3.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$