कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 4 d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{4 x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{4 x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{4 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{4 x}$ से गुणा करें.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

चरण 2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

चरण 6.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{4 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\frac{1}{4}$ और $e^{4 x}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

चरण 6.3.2

$x$ और $\frac{e^{4 x}}{4}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

चरण 6.3.3

$\frac{1}{4}$ और $e^{4 x}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

चरण 6.4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

चरण 6.5

मान लीजिए $u = 4 x$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

मान लें $u = 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 6.5.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 6.5.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 6.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

चरण 6.6

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

चरण 6.7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

चरण 6.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

चरण 6.8.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

चरण 6.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

चरण 6.10

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ को $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

चरण 6.11

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

चरण 6.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.1.1

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

चरण 6.12.1.2

$\frac{x}{4}$ और $e^{4 x}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

चरण 6.12.1.3

$e^{4 x}$ और $\frac{1}{16}$ को मिलाएं.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

चरण 6.12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

चरण 6.12.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

चरण 6.12.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

चरण 6.12.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

चरण 6.12.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.12.4.1

$- \frac{e^{4 x}}{16}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

चरण 6.12.4.2

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

चरण 6.12.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

चरण 6.12.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

चरण 6.12.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

चरण 6.13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

चरण 7

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{4 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{4 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{4 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{4 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.1.2

$e^{4 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.1.2.2

$- \frac{1}{8}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.2

$\frac{1}{2} x$ में से $\frac{1}{8}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.2.2

$x \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.3.3

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.4

$\frac{4 x - 1}{8}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

चरण 7.3.5

$\frac{C}{e^{4 x}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

चरण 7.3.6

प्रत्येक व्यंजक को $8 e^{4 x}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.6.1

$\frac{4 x - 1}{8}$ को $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

चरण 7.3.6.2

$\frac{C}{e^{4 x}}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

चरण 7.3.6.3

$e^{4 x} \cdot 8$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

चरण 7.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

चरण 7.3.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

चरण 7.3.8.2

$- 1 e^{4 x}$ को $- e^{4 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

चरण 7.3.8.3

$8$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$