कैलकुलस उदाहरण

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y e^{x}$ का व्युत्पन्न $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.3

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $2 e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 2 x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

चरण 2.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

चरण 2.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y + e^{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y + e^{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

चरण 5.3

चूँकि $2 x$ बटे $y$ अचर है, $2 x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

चरण 5.6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

चरण 5.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

चरण 5.6.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.3.2

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.4

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.4.2

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.4.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 8.6.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

चरण 9.1.3

$y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$y^{2}$ में से $y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

चरण 9.1.3.2

$y e^{x} + 2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

चरण 9.1.3.3

$y e^{x}$ में से $y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

चरण 9.1.3.4

$2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 e^{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

चरण 10.4

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

चरण 10.5

सरल करें.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$