कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{2} + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.5

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

चरण 1.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

चरण 1.6.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = 0$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 y = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y + 0}{N}$

चरण 4.3

$2 y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2 y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

चरण 4.3.2

$2 y + 0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

चरण 4.3.2.2

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

चरण 4.3.2.3

$2 (y) + 2 (0)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

चरण 4.3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.4.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

चरण 4.3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

चरण 4.3.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y + 0}{y}$

चरण 4.3.3

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y}{y}$

चरण 4.3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y}$

चरण 4.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

चरण 6

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + y^{2} + 2 x$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

चरण 6.3

$2 y$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = 2 y e^{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $2 e^{x}$ बटे $y$ अचर है, $2 e^{x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$\frac{2}{2}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.3.2

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x} y^{2}$ का व्युत्पन्न $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 11.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

चरण 12.1.2

$x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$y^{2} e^{x}$ में से $y^{2} e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

चरण 12.1.2.2

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.7

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.8

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 13.9

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

चरण 13.10

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

चरण 13.11

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

चरण 13.12

सरल करें.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 14

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 15

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

चरण 15.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

चरण 15.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$- 2 x e^{x}$ और $2 x e^{x}$ जोड़ें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

चरण 15.2.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

चरण 15.2.3

$2 e^{x}$ में से $2 e^{x}$ घटाएं.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

चरण 15.2.4

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

चरण 15.3

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$