कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

चरण 1.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{x}{x + 2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

चरण 1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

चरण 1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x$

$0$

चरण 2.3.1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

चरण 2.3.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

चरण 2.3.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

चरण 2.3.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

चरण 2.3.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

चरण 2.3.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

चरण 2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.3.7

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 2.3.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

चरण 2.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

चरण 2.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x + 2 |)$ को सरल करें.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

चरण 3.2.1.1.2

${| x + 2 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

चरण 3.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

चरण 3.5.2

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ के प्रत्येक पद को ${(x + 2)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ के प्रत्येक पद को ${(x + 2)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2.1.2

$| y |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.5.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.2

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$