कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{2} + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

चरण 1.6

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x y + x + e^{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 2.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 2.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

चरण 2.4.3

$2 y + 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y + 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y + 1$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y + 1 = 2 y + 1$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.3.2

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.4.2

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$0$ और $2 x y$ जोड़ें.

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

चरण 9.1.3

$2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

चरण 9.1.3.2

$x + e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

चरण 9.1.3.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

चरण 9.1.3.4

$0$ और $e^{y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $e^{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int e^{y} d y$

चरण 10.3

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$g (y) = e^{y} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

चरण 12

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$