कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y \cot (2 x)$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

चरण 1.2

$2 y \cot (2 x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

चरण 1.3

$y$ और $2 \cot (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2 \cot (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

चरण 2.2

$2 \cot (2 x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.2.2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.2.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

चरण 2.2.3

$\cot (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

चरण 2.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.5.3

$\int \cot (u) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\int \cot (u) d u}$

चरण 2.2.6

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

चरण 2.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\sin (2 x)$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\sin (2 x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में फिर से लिखें, फिर सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

कोष्ठक ले जाएँ.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.2.2

$\sin (2 x)$ और $2 \cot (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.2.3

कोष्ठक लगाएं.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.2.4

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ में पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 7.3.2

$x$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

चरण 7.3.3

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 7.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 7.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 7.5.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

चरण 7.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

चरण 7.7

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.7.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.7.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 7.7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 7.8

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 7.9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 7.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

चरण 7.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

चरण 7.11

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

चरण 7.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1

$2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ को $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

चरण 7.12.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.2.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

चरण 7.12.2.2

$\cos (2 x)$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

चरण 7.12.2.3

$\frac{1}{4}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

चरण 7.13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

चरण 7.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 7.14.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.14.2.1

$- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 7.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 7.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 7.14.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.14.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

चरण 7.14.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 7.14.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 7.14.4

गुणनखंडों को $- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 7.15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

चरण 8

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $\sin (2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\sin (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

अलग-अलग भिन्न

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ को $\cot (2 x)$ में बदलें.

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.3

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.4

$\sin (2 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.5

अलग-अलग भिन्न

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

चरण 8.3.1.6

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ को $\csc (2 x)$ में बदलें.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

चरण 8.3.1.7

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$