कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} y^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $y^{2}$ का घातांक है.

$v = y^{- 1}$

चरण 2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 4.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 5

मूल समीकरण $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} y^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d y}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $y$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ में से $v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $v^{- 1}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1.5.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.6

$- \frac{1}{x} v^{1}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.2.1.7

$v$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x^{3} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

चरण 6.1.1.3.2

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

चरण 6.1.1.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} v^{- 2} v^{2}$

चरण 6.1.1.3.3

घातांक जोड़कर $v^{- 2}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.3.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} (v^{2} v^{- 2})$

चरण 6.1.1.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} v^{2 - 2}$

चरण 6.1.1.3.3.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3} v^{0}$

चरण 6.1.1.3.4

$- x^{3} v^{0}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{3}$

चरण 6.1.2

$- \frac{v}{x}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x^{3}$

चरण 6.1.3

$v$ और $- \frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x^{3}$

चरण 6.2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 6.2.2

$- \frac{1}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 6.2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 6.2.2.3

सरल करें.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

चरण 6.2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- \ln (x)}$

चरण 6.2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

चरण 6.2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{- 1}$

चरण 6.2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 6.3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\frac{1}{x}$ और $\frac{d v}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.3

$\frac{1}{x}$ और $v$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.1

$\frac{v}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.2.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x^{3})$

चरण 6.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x^{3}$

चरण 6.3.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.1

$- \frac{1}{x}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x^{3}$

चरण 6.3.4.2

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2})$

चरण 6.3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2})$

चरण 6.3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - x^{2}$

चरण 6.4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - x^{2}$

चरण 6.5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - x^{2} d x$

चरण 6.6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{x} v = \int - x^{2} d x$

चरण 6.7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{x} v = - \int x^{2} d x$

चरण 6.7.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{x} v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 6.7.3

$- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ को $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 6.8

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$\frac{1}{x}$ और $v$ को मिलाएं.

$\frac{v}{x} = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 6.8.2

$x^{3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{v}{x} = - \frac{x^{3}}{3} + C$

चरण 6.8.3

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{3}}{3} + C) x$

चरण 6.8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{3}}{3} + C) x$

चरण 6.8.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = (- \frac{x^{3}}{3} + C) x$

चरण 6.8.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1

$(- \frac{x^{3}}{3} + C) x$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$v = - \frac{x^{3}}{3} x + C x$

चरण 6.8.4.2.1.2

$- \frac{x^{3}}{3} x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.2.1

$x$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$v = - \frac{x \cdot x^{3}}{3} + C x$

चरण 6.8.4.2.1.2.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.2.2.1

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.2.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$v = - \frac{x^{1} x^{3}}{3} + C x$

चरण 6.8.4.2.1.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$v = - \frac{x^{1 + 3}}{3} + C x$

चरण 6.8.4.2.1.2.2.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$v = - \frac{x^{4}}{3} + C x$

चरण 7

$y^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$y^{- 1} = - \frac{x^{4}}{3} + C x$