कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d t}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{t + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{t}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{t}$ से गुणा करें.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

चरण 2.3

गुणनखंडों को $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

चरण 6.2

$e^{t}$ और $\cos (2 t)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

चरण 6.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (2 t)$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

चरण 6.4

चूँकि $- 2$ बटे $t$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

चरण 6.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

चरण 6.5.2

$e^{t}$ और $\sin (2 t)$ को पुन: क्रमित करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

चरण 6.6

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (2 t)$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

चरण 6.7

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

चरण 6.8

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

चरण 6.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

चरण 6.8.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

चरण 6.9

$\int e^{t} \cos (2 t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

चरण 6.10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

$4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ को $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

चरण 6.10.2

सरल करें.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

चरण 7

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.2.1.2

$q$ को $1$ से विभाजित करें.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.1.2

$\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ को $1$ से विभाजित करें.

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.3

$\frac{4}{5}$ और $\cos (2 t)$ को मिलाएं.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.4

$\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.4.1

$2$ और $\frac{4}{5}$ को मिलाएं.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.4.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 7.3.1.4.3

$\frac{8}{5}$ और $\sin (2 t)$ को मिलाएं.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

चरण 8

$t$ के लिए $0$ और $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ में $q$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

चरण 9

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण को $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.2.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2.5

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2.6

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.3

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

चरण 9.2.1.4.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{4}{5} + C = 1$

चरण 9.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{4}{5}$ घटाएं.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

चरण 9.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

चरण 9.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

चरण 9.3.4

$5$ में से $4$ घटाएं.

$C = \frac{1}{5}$

चरण 10

$\frac{1}{5}$ को $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{5}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

चरण 10.2.2

जोड़ना.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

चरण 10.2.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$