कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 2 x$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$6 x y - 2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$6 x y$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) - 2 x$

चरण 1.1.2

$- 2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) + 2 x (- 1)$

चरण 1.1.3

$2 x (3 y) + 2 x (- 1)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y - 1)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{3 y - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 1} (2 x (3 y - 1))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

चरण 1.3.2

$2$ और $\frac{1}{3 y - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

चरण 1.3.3

$3 y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$x (3 y - 1)$ में से $3 y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

चरण 1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

चरण 1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 y - 1} d y = 2 x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{3 y - 1} d y = \int 2 x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 3 y - 1$ .फिर $d u = 3 d y$ , तो $\frac{1}{3} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 3 y - 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$3 y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [3 y - 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 2.2.1.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int 2 x d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int 2 x d x$

चरण 2.2.2.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int 2 x d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) = x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |)) = 3 (x^{2} + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और $\ln (| 3 y - 1 |)$ को मिलाएं.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 (x^{2} + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 3 y - 1 |)} = e^{3 x^{2} + 3 C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{3 x^{2} + 3 C} = | 3 y - 1 |$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$

चरण 3.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$3 y - 1 = \pm e^{3 x^{2} + 3 C}$

चरण 3.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$

चरण 3.5.4

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

चरण 3.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

चरण 3.5.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

चरण 3.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1}{3}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 1}{3}$

चरण 4.2

$e^{3 x^{2} + C}$ को $e^{3 x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 1}{3}$

चरण 4.3

$e^{3 x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 1}{3}$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 1}{3}$