कैलकुलस उदाहरण

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

चरण 1.1.3

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

चरण 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

चरण 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

चरण 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

चरण 1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.3.2.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

चरण 3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को $| 1 + x^{2} |$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$| 1 + x^{2} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | 1 + x^{2} |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | 1 + x^{2} |$