कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (y) d y}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (y) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d y}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- y + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- y}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{- y}$ से गुणा करें.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

चरण 3.3.2

$3$ को $e^{- y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.2

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{- y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.5.2

$\int e^{- y} d y$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.6

मान लीजिए $u_{1} = - y$ .फिर $d u_{1} = - d y$ , तो $- d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

मान लें $u_{1} = - y$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1.1

$- y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [- y]$

चरण 7.6.1.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- \frac{d}{d y} [y]$

चरण 7.6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 7.6.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 7.6.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.7

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.8

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

चरण 7.9

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

चरण 7.10

मान लीजिए $u_{2} = - y$ .फिर $d u_{2} = - d y$ , तो $- d u_{2} = d y$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.1

मान लें $u_{2} = - y$ . $\frac{d u_{2}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.10.1.1

$- y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [- y]$

चरण 7.10.1.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- \frac{d}{d y} [y]$

चरण 7.10.1.3

$- 1 \cdot 1$

चरण 7.10.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 7.10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7.11

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 7.12

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7.13

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

चरण 7.14

सरल करें.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

चरण 7.15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

चरण 7.15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

चरण 8

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- y}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- y}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{- y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$- 2 e^{- y}$ में से $3 e^{- y}$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.2

$- 2 y e^{- y}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.3

$- 5 e^{- y}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.4

$- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.5

$C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.6

$- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.7.1

$- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ को $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

चरण 8.3.3.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$