कैलकुलस उदाहरण

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

चरण 1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{1 + e^{x}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$1 + e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$(1 + e^{x}) y$ में से $1 + e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

चरण 2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

चरण 2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

चरण 2.2

$\frac{1}{1 + e^{x}}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

चरण 3.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

मान लीजिए $u = 1 + e^{x}$ .फिर $d u = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

मान लें $u = 1 + e^{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

$1 + e^{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

चरण 3.3.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.3.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 3.3.1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{x}$

चरण 3.3.1.1.4

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 3.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

चरण 4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

चरण 4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

चरण 4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

चरण 4.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ को सरल करें.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

चरण 4.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

चरण 4.5

${| 1 + e^{x} |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

चरण 4.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

चरण 5

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$