कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

चरण 1

समस्या को गणितीय व्यंजक के रूप में लिखें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

चरण 2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

चरण 2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

चरण 2.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = 3 t^{2} d t$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूँकि $3$ बटे $t$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

चरण 3.3.2

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} t^{3}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

चरण 3.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ को $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.3

$t^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

चरण 4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

चरण 4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

चरण 4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

चरण 4.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

चरण 4.4

$2 t^{3} + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$2 t^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

चरण 4.4.2

$2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

चरण 4.4.3

$2 (t^{3}) + 2 K$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

चरण 4.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

चरण 4.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

चरण 4.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

चरण 5

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(2, 0)$ में गैर-ऋणात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ पर विचार करें. $t$ के लिए $2$ और $y$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

चरण 6.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ को ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

घातांक को ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.3.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

चरण 6.3.2.1.3.2

सरल करें.

$16 + 2 K = 0^{2}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$16 + 2 K = 0$

चरण 6.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$2 K = - 16$

चरण 6.4.2

$2 K = - 16$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$2 K = - 16$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

चरण 6.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

चरण 6.4.2.2.1.2

$K$ को $1$ से विभाजित करें.

$K = \frac{- 16}{2}$

चरण 6.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.3.1

$- 16$ को $2$ से विभाजित करें.

$K = - 8$

चरण 7

$- 8$ को $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 8$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

चरण 7.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

चरण 7.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = t$ और $b = 2$ हैं.

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

चरण 7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$2$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

चरण 7.4.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$