कैलकुलस उदाहरण

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{1 + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

चरण 3.2

$1 + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x (1 + y^{2})$ में से $1 + y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = 1 + y^{2}$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = 1 + y^{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 4.2.1.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 4.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 y$

चरण 4.2.1.1.5

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

चरण 4.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

चरण 4.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

चरण 4.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 4.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

चरण 4.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 1 + y^{2} |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

चरण 5.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

चरण 5.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

चरण 5.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

चरण 5.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

चरण 5.5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

चरण 6.2

$e^{x^{2} + C}$ को $e^{x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

चरण 6.3

$e^{x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

चरण 6.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$