कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = x - 8$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = x - 8$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x - 8$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.3.2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

चरण 2.3.3

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

चरण 2.3.5

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 8$ से बदलें.

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $8$ और $y = - 4 e^{x - 8} + K$ में $y$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

चरण 4.2

$- 4 e^{8 - 8} + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$8$ में से $8$ घटाएं.

$- 4 e^{0} + K = 8$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

चरण 4.2.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 + K = 8$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$K = 8 + 4$

चरण 4.3.2

$8$ और $4$ जोड़ें.

$K = 12$

चरण 5

$12$ को $y = - 4 e^{x - 8} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$12$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$