कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 8 x y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4 x^{2} y - 8 x y$ में से $4 x y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x^{2} y$ में से $4 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) - 8 x y$

चरण 1.1.2

$- 8 x y$ में से $4 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) + 4 x y (- 2)$

चरण 1.1.3

$4 x y (x) + 4 x y (- 2)$ में से $4 x y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x - 2)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (4 x y (x - 2))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y} (x y (x - 2))$

चरण 1.3.2

$4$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (x y (x - 2))$

चरण 1.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$x y (x - 2)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

चरण 1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

चरण 1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x (x - 2))$

चरण 1.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x + x \cdot - 2)$

चरण 1.3.5

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} + x \cdot - 2)$

चरण 1.3.6

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} - 2 \cdot x)$

चरण 1.3.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 4 (- 2 x)$

चरण 1.3.8

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 8 x$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 8 x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 8$ बटे $x$ अचर है, $- 8$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$4$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.2

$- 8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.3.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6.2.3.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{4}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$ को $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$