कैलकुलस उदाहरण

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{x} + 2 x e^{- y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x e^{- y}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

चरण 1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

चरण 1.3.3

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

चरण 1.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

चरण 1.3.6

$- 1$ को $e^{- y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

चरण 1.3.7

$- 1 e^{- y}$ को $- e^{- y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

चरण 1.3.8

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$0$ में से $2 x e^{- y}$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

चरण 1.4.2

$- 2 x e^{- y}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

चरण 1.4.3

गुणनखंडों को $- 2 e^{- y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + e^{- y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

चरण 2.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $e^{- y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{- y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

चरण 2.4.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x e^{- y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $e^{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{x}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$- 2 x e^{- y}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

चरण 4.3

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

चरण 4.3.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

चरण 4.3.3

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

चरण 6

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.4

घातांक जोड़कर $e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$e^{y}$ ले जाएं.

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.4.3

$y$ में से $y$ घटाएं.

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.5

$2 x e^{0}$ को सरल करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

चरण 6.6

$e^{x} + e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

चरण 6.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

चरण 6.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

चरण 6.9

घातांक जोड़कर $e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

चरण 6.9.2

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

चरण 6.10

$e^{0}$ को सरल करें.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

चरण 8.2

मान लीजिए $u = x + y$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

मान लें $u = x + y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$x + y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [x + y]$

चरण 8.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 8.2.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 8.2.1.4

$0 + 1$

चरण 8.2.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

चरण 8.3

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

चरण 8.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

चरण 8.5

सरल करें.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

चरण 8.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x + y} + y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.1.2

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.3.6

$e^{x + y}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

$e^{x + y}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

चरण 11.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{x + y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

चरण 12.1.2

$e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$e^{x + y}$ में से $e^{x + y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

चरण 12.1.2.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 x d x$

चरण 13.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 \int x d x$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 13.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 13.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 13.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 13.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

चरण 13.5.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x^{2} + C$

चरण 14

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$