कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

चरण 1

$x$ के संबंध में दोनों पक्षों का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न $x$ के संबंध में दूसरे व्युत्पन्न के समाकलन के बराबर है.

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

चरण 1.2

मान लीजिए $u_{1} = 2 x - 1$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

मान लें $u_{1} = 2 x - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$2 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 1.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.2.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 1.3

$\sqrt{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

चरण 1.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

चरण 1.5

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 1.6

घात नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 1.8

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

चरण 2

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

चरण 3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.2

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.3

मान लीजिए $u_{2} = 2 x - 1$ .फिर $d u_{2} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

मान लें $u_{2} = 2 x - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$2 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 3.3.3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.3.3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.3.3.1.3.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.3.3.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.3.3.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 3.3.3.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 3.3.3.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.4

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.7

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ है.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

चरण 3.3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

चरण 3.3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.1

सरल करें.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.2.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{2}{5}$ से गुणा करें.

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2.2

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2.3

$2$ और $30$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.2.3.2.1

$30$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.9.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.3.10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$