कैलकुलस उदाहरण

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

फिर से लिखें.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} + 2 t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

चरण 2.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2 t$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

चरण 2.5

$3 y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 y^{2} t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3 y^{2} t$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y^{2} t$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 y^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$3 y^{2} = 0$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 y^{2} = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3 y^{2}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 5.2

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

चरण 5.3

$3 y^{2} t$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3 y^{2} t$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

चरण 5.3.2

$3 y^{2} + 0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$3 y^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

चरण 5.3.2.2

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

चरण 5.3.2.3

$3 (y^{2}) + 3 (0)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

चरण 5.3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

$3 y^{2} t$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

चरण 5.3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

चरण 5.3.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

चरण 5.3.3

$y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

चरण 5.3.4

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

चरण 5.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{t}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

चरण 6.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{t}$ और $x$ को मिलाएं.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

चरण 6.2.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

चरण 7

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{\frac{x}{t}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$y^{3} + 2 t$ को $e^{\frac{x}{t}}$ से गुणा करें.

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

चरण 7.3

$3 y^{2} t$ को $e^{\frac{x}{t}}$ से गुणा करें.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चूँकि $3 t e^{\frac{x}{t}}$ बटे $y$ अचर है, $3 t e^{\frac{x}{t}}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

चरण 9.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

चरण 9.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ को $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 9.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

चरण 9.3.2.2

$\frac{3}{3}$ और $t$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

चरण 9.3.2.3

$\frac{3 t}{3}$ और $e^{\frac{x}{t}}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

चरण 9.3.2.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

चरण 9.3.2.4.2

$t e^{\frac{x}{t}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

चरण 10

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $t y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ का व्युत्पन्न $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ है.

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \frac{x}{t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{t}$ के रूप में सेट करें.

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{t}$ से बदलें.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.3

चूंकि $\frac{1}{t}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{t}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.5

$\frac{1}{t}$ को $1$ से गुणा करें.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.6

$e^{\frac{x}{t}}$ और $\frac{1}{t}$ को मिलाएं.

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.7

$t$ और $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ को मिलाएं.

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.8

$y^{3}$ और $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ को मिलाएं.

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.9

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.3.9.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 12.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 13

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

चरण 13.1.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.2.1

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ में से $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

चरण 13.1.2.2

$2 t e^{\frac{x}{t}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

चरण 14

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 t e^{\frac{x}{t}}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

चरण 14.3

चूँकि $2 t$ बटे $x$ अचर है, $2 t$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

चरण 14.4

मान लीजिए $u = \frac{x}{t}$ .फिर $d u = \frac{1}{t} d x$ , तो $t d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

मान लें $u = \frac{x}{t}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1.1

$\frac{x}{t}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

चरण 14.4.1.2

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.4.1.3

$\frac{1}{t} \cdot 1$

चरण 14.4.1.4

$\frac{1}{t}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{t}$

चरण 14.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

चरण 14.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$\frac{1}{t}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

चरण 14.5.2

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

चरण 14.6

चूँकि $t$ बटे $u$ अचर है, $t$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

चरण 14.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.7.1

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

चरण 14.7.2

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

चरण 14.7.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

चरण 14.7.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

चरण 14.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

चरण 14.9

सरल करें.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

चरण 14.10

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{t}$ से बदलें.

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

चरण 15

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

चरण 16

गुणनखंडों को $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$