कैलकुलस उदाहरण

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y (x^{2} - 1) d x$ जोड़ें.

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y}$ को $y^{2} - 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

चरण 3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

चरण 3.5

$\frac{1}{x}$ को $x^{2} - 1$ से गुणा करें.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

चरण 3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

चरण 3.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.4

$y$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.5

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.6

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.8.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.8.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.9

$- 1 y$ और $y$ जोड़ें.

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.10

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.11

$y^{2} - 1$ को $y$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.11.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

चरण 4.2.11.2

भाज्य $y^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

चरण 4.2.11.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

चरण 4.2.11.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

चरण 4.2.11.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

चरण 4.2.11.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

चरण 4.2.11.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.12

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.13

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.14

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.15

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.2.16

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

चरण 4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.4

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.8.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

चरण 4.3.8.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

चरण 4.3.9

$- 1 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

चरण 4.3.10

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

चरण 4.3.11

$x^{2} - 1$ को $x$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.1

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 4.3.11.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

चरण 4.3.11.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

चरण 4.3.11.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

चरण 4.3.11.5

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

चरण 4.3.11.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

चरण 4.3.11.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.12

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.13

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.14

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.15

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

चरण 4.3.16

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$