कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

चरण 2.3

घातांक जोड़कर $e^{2 x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

चरण 2.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

चरण 2.3.3

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{3 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

चरण 6.2.2

$x$ और $\frac{e^{3 x}}{3}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

चरण 6.4

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 6.4.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 6.4.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 6.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 6.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 6.6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

चरण 6.7.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

चरण 6.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

चरण 6.9

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ को $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

चरण 6.10

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

चरण 7

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{3 x}$ और $e^{2 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$\frac{1}{3} x e^{3 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{3} x e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.2

$\frac{1}{3} x e^{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.2.2

$\frac{x}{3}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.3

$e^{3 x}$ और $e^{2 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.1

$- \frac{1}{9} e^{3 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.3.2.4

$- \frac{1}{9} e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 7.3.1.4

$e^{x}$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$