कैलकुलस उदाहरण

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ में से $3 x^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x^{4} y^{6}$ में से $3 x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

चरण 1.1.2

$- 6 x^{4}$ में से $3 x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

चरण 1.1.3

$3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ में से $3 x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{6} - 2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

चरण 1.3.2

$3$ और $\frac{1}{y^{6} - 2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

चरण 1.3.3

$y^{6} - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$x^{4} (y^{6} - 2)$ में से $y^{6} - 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

चरण 1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

चरण 1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

चरण 1.4

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{y^{6} - 2}$ और $y^{5}$ को मिलाएं.

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = y^{6} - 2$ .फिर $d u = 6 y^{5} d y$ , तो $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = y^{6} - 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$y^{6} - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

चरण 2.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{6} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 2.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 y^{5} + 0$

चरण 2.2.2.1.5

$6 y^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$6 y^{5}$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.3.2

$6$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{6} - 2$ से बदलें.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ को $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

$3$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करें.

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ और $\ln (| y^{6} - 2 |)$ को मिलाएं.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{3}{5}$ और $x^{5}$ को मिलाएं.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

चरण 3.2.2.1.3

$6 \frac{3 x^{5}}{5}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$6$ और $\frac{3 x^{5}}{5}$ को मिलाएं.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

चरण 3.2.2.1.3.2

$3$ को $6$ से गुणा करें.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

चरण 3.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

चरण 3.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

चरण 3.5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

चरण 4.2

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ को $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

चरण 4.3

$e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$