कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{1}{x^{2}}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 - x^{2} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

चरण 1.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

चरण 1.6

चूंकि $- x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x^{2} y$ का व्युत्पन्न $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

चरण 1.7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

चरण 1.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

चरण 2.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 1$ प्रतिस्थापित करें.

$- 1 = - 1$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 1 = - 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y - x d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y - x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.3.2

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ में से $y$ घटाएं.

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 9.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

चरण 9.1.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ को $1 - x^{2} y$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

चरण 9.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

भिन्न $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

चरण 9.1.2.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

चरण 9.1.2.2.2.1.2

$- 1 y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

चरण 9.1.2.2.2.2

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

चरण 9.1.2.3

$\frac{1}{x^{2}} - y + y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.3.1

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

चरण 9.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $\frac{1}{x^{2}}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 10.3

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 10.4

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 10.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$g (x) = - x^{- 1} + C$

चरण 10.6

$- x^{- 1} + C$ को $- \frac{1}{x} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

चरण 12

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$