कैलकुलस उदाहरण

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y^{2} - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.5

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.6

$4 x y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.5

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

चरण 1.9

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1

$2 x y^{2} - 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

चरण 1.9.2

$4 x y^{2}$ और $2 x y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

चरण 1.9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.4.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $4 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

चरण 2.5.2

$6 y^{2} x - 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $6 y^{2} x - 3$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $6 y^{2} x - 3$ प्रतिस्थापित करें.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

चरण 5.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

चरण 5.3

चूँकि $2 y^{2}$ बटे $x$ अचर है, $2 y^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

चरण 5.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

चरण 5.6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

चरण 5.7

सरल करें.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ है.

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} x^{2} - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ है.

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.3

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.4

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.5

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.6

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.7

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.8

$2 x^{2} y$ और $0$ जोड़ें.

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.9

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.10

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.13

$y^{2} x^{2} - 3 x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.14

$2 x^{2} y^{2}$ और $y^{2} x^{2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.14.1

$y^{2}$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.3.14.2

$2 x^{2} y^{2}$ और $x^{2} y^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

चरण 9.1.3

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ में से $3 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

चरण 9.1.3.2

$- 3 x + 4 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

चरण 9.1.3.3

$- 3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

चरण 9.1.3.4

$4 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $4 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 4 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 4 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (y) = 2 y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12.2.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

चरण 12.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$