कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int x d x}$

चरण 1.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

चरण 1.4

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

चरण 2.2

गुणनखंडों को $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ .फिर $d u_{1} = x d x$ , तो $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 6.1.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2} (2 x)$

चरण 6.1.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} x$

चरण 6.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2}$

चरण 6.1.1.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2}$

चरण 6.1.1.4.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = e^{u_{1}}$ और $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.4

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.3.5

$e^{u_{1}}$ और $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.4

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6.5.4

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.6

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ को $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

चरण 6.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ में से $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ घटाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

चरण 6.7.2.2

$0$ और $C$ जोड़ें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

चरण 7

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 8

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

चरण 9

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$C = 0$

चरण 10

$0$ को $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$0$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 10.2

$0$ को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से विभाजित करें.

$y = 0$