कैलकुलस उदाहरण

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

चरण 1.5

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$6 y + 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

चरण 1.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x y + x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $6 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x y$ का व्युत्पन्न $6 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$6 y + 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x + 6 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x + 6 y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

चरण 5.3

चूँकि $2 y$ बटे $x$ अचर है, $2 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

चरण 5.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

चरण 5.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.7

सरल करें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 5.8.2

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

चरण 5.8.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

चरण 5.8.3.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $3 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y^{2} x$ का व्युत्पन्न $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.3.2

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.4

$\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.4.2

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.4.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.5

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.6

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.1

$6 x y + x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 8.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

चरण 9.1.3

$6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

चरण 9.1.3.2

$6 x y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

चरण 9.1.3.3

$6 x y$ में से $6 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

चरण 9.1.3.4

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 3$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $3$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 3$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 3 d y$

चरण 10.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = 3 y + C$

चरण 11

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$