कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 3 x + 2$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 3 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$3 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 2.3.1.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

चरण 2.3.2

$u^{3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ को $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

चरण 4.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

चरण 4.2.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

चरण 4.2.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

चरण 4.2.4.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

चरण 4.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

चरण 4.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

चरण 4.2.5

$\frac{1}{3}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} + K = 1$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{4}{3}$ घटाएं.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

चरण 4.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

चरण 4.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

चरण 4.3.4

$3$ में से $4$ घटाएं.

$K = \frac{- 1}{3}$

चरण 4.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$K = - \frac{1}{3}$

चरण 5

$- \frac{1}{3}$ को $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{1}{3}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उत्पाद नियम को $3 x$ पर लागू करें.

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.2

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.3

उत्पाद नियम को $3 x$ पर लागू करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.5

$27$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.6

$2$ को $108$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.7

उत्पाद नियम को $3 x$ पर लागू करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.8

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.9

$9$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.11

$4$ को $54$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.12

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.13

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.14

$8$ को $12$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.15

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.1.2

$81 x^{4}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.2

$27$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.3

$\frac{27}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.4

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.4.1

$216 x^{3}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.5

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.5.1

$216 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.6

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.6.1

$96 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.7.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.7.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

चरण 5.2.4.8

$\frac{1}{3}$ और $4$ को मिलाएं.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

चरण 5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

चरण 5.4

$4$ में से $1$ घटाएं.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

चरण 5.5

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$