कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

चरण 1.2

$0.04 y + 8000$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 0.04 y + 8000$ .फिर $d u = 0.04 d y$ , तो $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 0.04 y + 8000$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{0.04}{1}$

चरण 2.2.1.1.2

$0.04$ को $1$ से विभाजित करें.

$0.04$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

चरण 2.2.2

चूँकि $25$ बटे $u$ अचर है, $25$ को समाकलन से हटा दें.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

चरण 2.2.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

चरण 2.2.4

सरल करें.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.2.5

$u$ की सभी घटनाओं को $0.04 y + 8000$ से बदलें.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ के प्रत्येक पद को $25$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ के प्रत्येक पद को $25$ से विभाजित करें.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$25$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

चरण 3.1.2.1.2

$\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

चरण 3.2

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

चरण 3.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण को $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

चरण 3.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

चरण 3.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $8000$ घटाएं.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

चरण 3.4.4

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ के प्रत्येक पद को $0.04$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ के प्रत्येक पद को $0.04$ से विभाजित करें.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

$0.04$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.2

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.3

$0.04$ में से $0.04$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.4

अलग-अलग भिन्न

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.5

$1$ को $0.04$ से विभाजित करें.

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.6

$\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

चरण 3.4.4.3.1.7

$- 8000$ को $0.04$ से विभाजित करें.

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$