कैलकुलस उदाहरण

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$1$ को $e^{2 y}$ से गुणा करें.

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

चरण 3.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

चरण 3.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = 2$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = 2$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 + 0}{M}$

चरण 5.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 + 0}{1}$

चरण 5.3.2

$2 + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 + 0$

चरण 5.3.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$2$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int 2 d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

चरण 6.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

चरण 7

$d x + (y + 2 x) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{2 y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $e^{2 y}$ से गुणा करें.

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

चरण 7.2

$y + 2 x$ को $e^{2 y}$ से गुणा करें.

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = e^{2 y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{2 y} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{2 y} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.3

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.6

$2$ को $e^{2 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.3.7

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 12.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

चरण 13

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x e^{2 y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

चरण 13.1.2

$y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.2.1

$2 x e^{2 y}$ में से $2 x e^{2 y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

चरण 13.1.2.2

$y e^{2 y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

चरण 14

$g (y)$ को खोजने के लिए $y e^{2 y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

चरण 14.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{2 y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

चरण 14.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 y}$ को मिलाएं.

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

चरण 14.4.2

$y$ और $\frac{e^{2 y}}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

चरण 14.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

चरण 14.6

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

चरण 14.7

मान लीजिए $u = 2 y$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.7.1

मान लें $u = 2 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.7.1.1

$2 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 14.7.1.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 14.7.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 14.7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 14.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 14.8

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 14.9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

चरण 14.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 14.11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 14.12

$\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ को $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 14.13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

चरण 15

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

चरण 16

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

चरण 16.1.2

$\frac{y}{2}$ और $e^{2 y}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

चरण 16.1.3

$e^{2 y}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.2

$e^{2 y} x$ में से $\frac{e^{2 y}}{4}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$e^{2 y}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.2.2

$x e^{2 y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.2.3

$x e^{2 y}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$4$ को $x e^{2 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.3.2

$4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.1

$4 x e^{2 y}$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

चरण 16.3.2.2

$- e^{2 y}$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

चरण 16.3.2.3

$e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.4

$\frac{y e^{2 y}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.5

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$\frac{y e^{2 y}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1

$y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.7.1.1

$y e^{2 y} \cdot 2$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.7.1.2

$e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ में से $e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

चरण 16.7.2

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$