कैलकुलस उदाहरण

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{x} (y - 1) d x$ घटाएं.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.2

$2$ और $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.3

$e^{x} + 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.5

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.5.2

$(e^{x} + 4) (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

चरण 3.5.3

$e^{x} (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

चरण 3.5.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

चरण 3.6

$\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u_{1} = y - 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u_{1} = y - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

चरण 4.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.2.4

सरल करें.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.2.5

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y - 1$ से बदलें.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = e^{x} + 4$ .फिर $d u_{2} = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = e^{x} + 4$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$e^{x} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 4.3.2.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 4.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{x} + 0$

चरण 4.3.2.1.4.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.4

सरल करें.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.5

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + 4$ से बदलें.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y - 1 |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

चरण 5.2.1.1.2

${| y - 1 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

चरण 5.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

चरण 5.2.1.3

गुणनखंडों को $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

चरण 5.3

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ को $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

चरण 5.3.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(y - 1)}^{2})$ का प्रसार करें.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

चरण 5.4

विस्तारित समीकरण $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ है.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

चरण 5.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $\ln (| e^{x} + 4 |)$ घटाएं.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

चरण 5.6

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

चरण 5.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

चरण 5.6.2.1.2

$\ln (y - 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

चरण 5.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

चरण 5.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

चरण 5.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

समीकरण को $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

चरण 5.9.2

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

चरण 5.9.2.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

चरण 5.9.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

चरण 5.9.3

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

चरण 5.9.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.2.1

भिन्न $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

चरण 5.9.3.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

चरण 6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

चरण 6.3

$e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ को $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

चरण 6.4

$e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$