कैलकुलस उदाहरण

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r t}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

चरण 2.4

कोष्ठक हटा दें.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

चरण 2.5

$e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3 r^{2} e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

चरण 2.5.2

$4 r e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

चरण 2.5.3

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

चरण 2.5.4

$- e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

चरण 2.5.5

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

चरण 2.6

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r t}$ से विभाजित करें.

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.2

द्विघात सूत्र में $a = 3$ , $b = 4$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $r$ के लिए हल करें.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.2.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.3

$16$ और $12$ जोड़ें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

चरण 3.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ को सरल करें.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.2.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.3

$16$ और $12$ जोड़ें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

चरण 3.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ को सरल करें.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.4.5

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.4.6

$\sqrt{7}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

चरण 3.4.7

$- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

चरण 3.4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.2.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.3

$16$ और $12$ जोड़ें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

चरण 3.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ को सरल करें.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.5.5

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.5.6

$- \sqrt{7}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

चरण 3.5.7

$- 1 (2) - (\sqrt{7})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

चरण 3.5.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

चरण 3.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

चरण 6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$t$ और $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

चरण 6.2

$t$ और $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$