कैलकुलस उदाहरण

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

चरण 1.2.2

$4$ और $\frac{1}{y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

चरण 1.2.3

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$x y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

चरण 1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

चरण 1.3

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$\frac{1}{y^{2}}$ को ${(y^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.1.2

घातांक को ${(y^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.2

$y^{- 2} (y^{2} - 1)$ गुणा करें.

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

घातांक जोड़कर $y^{- 2}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.3.1.2

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.3.2

$y^{0}$ को सरल करें.

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.3.3

$- 1$ को $y^{- 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.3.4

$- 1 y^{- 2}$ को $- y^{- 2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.6

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

चरण 2.2.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

चरण 2.2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

सरल करें.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

चरण 2.2.8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

चरण 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ को $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.3.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, y, 1, 1$

चरण 3.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$y$

चरण 3.2

भिन्नों को हटाने के लिए $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

चरण 3.2.2.1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

चरण 3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

चरण 3.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $y$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

चरण 3.3.4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.3.5

द्विघात सूत्र में $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.3

${(2 x^{2} + K)}^{2}$ को $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.5.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.1.5

$K$ को $K$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.2

$2 x^{2} K$ और $2 K x^{2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.5.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.5.2.2

$2 K x^{2}$ और $2 K x^{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.6

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.6.1

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.6.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.7

$4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.7.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.7.1.1

$4 x^{4}$ को ${(2 x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.7.1.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

चरण 3.3.6.1.7.1.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.7.1.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 2 x^{2}$ और $b = K$ है.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.1.7.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 2 x^{2} + K$ और $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

चरण 3.3.6.3

$\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ को सरल करें.

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

चरण 3.3.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$