कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = x^{2} - 8 x + 2$ .फिर $d u = (2 x - 8) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = (x - 4) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = x^{2} - 8 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x^{2} - 8 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 2]$

चरण 2.3.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 8 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x - 8 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x - 8 + 0$

चरण 2.3.1.1.4.2

$2 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$2 x - 8$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 8 x + 2$ से बदलें.

$y + C_{1} = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + K$