कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

चरण 1.4.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

चरण 2.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x = 2 x$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x = 2 x$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x y - x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

चरण 5.2

चूँकि $2 y$ बटे $x$ अचर है, $2 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

चरण 5.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.7.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 5.7.4

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.5

$y x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.6

$y x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.8

$2$ को $y x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.9

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

चरण 5.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y x^{2} - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.3

चूंकि $2 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.4

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.5

चूंकि $y$ के संबंध में $- x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.7

$2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.8

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.9

$\frac{2}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.3.10.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

चरण 9.1.2

$y^{2} + x^{2} - x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

चरण 9.1.2.2

$y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $y^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y^{2} d y$

चरण 10.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$2 y x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.4

$y x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.5

$y x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.7.1

$y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.7.1.1

$y x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.7.1.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.7.1.3

$x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.7.2

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 12.1.8

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

चरण 12.2

$\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

चरण 12.3

$\frac{y^{3}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.4

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.4.3

$\frac{y^{3}}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

चरण 12.4.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.3

$- 1$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.4

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.6

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.7

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

चरण 12.6.8

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$