कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

चरण 1.2

$x^{2} + \frac{1}{36}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{36}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{36}$ को ${(\frac{1}{6})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ है.

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\frac{1}{6}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.2.4.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.2.4.3

$\frac{1}{6}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.2.4.4

$6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$6 \arctan (6 x) = t + K$

चरण 3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

चरण 3.1.2.1.2

$\arctan (6 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

चरण 3.2

चाप स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम चाप स्पर्शरेखा लें.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

चरण 3.3

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

चरण 3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

चरण 5

$t$ के लिए $0$ और $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ में $x$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करें.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

चरण 6.4

स्पर्शरेखा के अंदर से $K$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

चरण 6.5

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{0}{6} + K$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$0$ को $6$ से विभाजित करें.

$0 + K = \arctan (12)$

चरण 6.5.1.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

$K = \arctan (12)$

चरण 6.6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$\arctan (12)$ का मान ज्ञात करें.

$K = 1.48765509$

चरण 6.7

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

चरण 6.8

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

कोष्ठक हटा दें.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

चरण 6.8.2

कोष्ठक हटा दें.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

चरण 6.8.3

$3.14159265$ और $1.48765509$ जोड़ें.

$K = 4.62924774$

चरण 6.9

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 6.9.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 6.9.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 6.9.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 6.10

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6.11

$1.48765509 + π n$ और $4.62924774 + π n$ को $1.48765509 + π n$ में समेकित करें.

$K = 1.48765509 + π n$

चरण 7

$1.48765509 + π n$ को $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1.48765509 + π n$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$