कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

चरण 1.3.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$(1 + t^{2}) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

चरण 1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 1 + t^{2}$ .फिर $d u = 2 t d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 1 + t^{2}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$1 + t^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.3.2.1.3

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 t$

चरण 2.3.2.1.5

$0$ और $2 t$ जोड़ें.

$2 t$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + t^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

चरण 3.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ को सरल करें.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

चरण 3.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

चरण 3.5

${| 1 + t^{2} |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

चरण 3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

चरण 3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

चरण 3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$