कैलकुलस उदाहरण

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y e^{2 x y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = e^{2 x y}$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.5

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

चरण 1.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

चरण 1.3.7

$e^{2 x y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$0$ और $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

चरण 1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

चरण 1.4.3

गुणनखंडों को $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

चरण 2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

चरण 2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{2 x y}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4.2

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x y$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.5.4

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

चरण 2.5.5

$e^{2 x y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

चरण 2.6.2

गुणनखंडों को $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

चरण 5.2

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

चरण 5.3

मान लीजिए $u = 2 x y$ .फिर $d u = 2 x d y$ , तो $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

मान लें $u = 2 x y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$2 x y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

चरण 5.3.1.2

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

चरण 5.3.1.3

$2 x \cdot 1$

चरण 5.3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x$

चरण 5.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

चरण 5.4

$e^{u}$ और $\frac{1}{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

चरण 5.5

चूँकि $\frac{1}{2 x}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2 x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{1}{2 x}$ और $x$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

चरण 5.6.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

चरण 5.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

चरण 5.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

चरण 5.8

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

चरण 5.9

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x y$ से बदलें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.2.2

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.3

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.4

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.6

$e^{2 x y}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.7

$2$ और $\frac{e^{2 x y}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.8

$\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.3.9.2

$e^{2 x y} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y e^{2 x y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

चरण 9.1.2

$x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$y e^{2 x y}$ में से $y e^{2 x y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

चरण 9.1.2.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x d x$

चरण 10.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x y}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$