कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{u + 2}{u + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{u + 1}{u + 2}$ को $\frac{t + 1}{t - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

चरण 1.3.2

$u + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

चरण 1.3.3

$u + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

चरण 1.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$u + 2$ को $u + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$u$

$1$

$u$

$2$

चरण 2.2.1.2

भाज्य $u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

चरण 2.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

चरण 2.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

चरण 2.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

चरण 2.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.4

मान लीजिए $u_{1} = u + 1$ . फिर $d u_{1} = d u$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

मान लें $u_{1} = u + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d u}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$u + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

चरण 2.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ है.

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.2.4.1.4

चूंकि $u$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.5

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.2.7

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $u + 1$ से बदलें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$t + 1$ को $t - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$t$

$1$

$t$

$1$

चरण 2.3.1.2

भाज्य $t$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $t$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

चरण 2.3.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

चरण 2.3.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $t - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

चरण 2.3.1.5

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

चरण 2.3.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

चरण 2.3.4

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u_{2} = t - 1$ . फिर $d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u_{2} = t - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$t - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

चरण 2.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

चरण 2.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

चरण 2.3.5.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

चरण 2.3.8

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $t - 1$ से बदलें.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$