कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $8$ बटे $t$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . फिर $d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$t + \frac{π}{12}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + \frac{π}{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ है.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

चरण 2.3.2.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $\frac{π}{12}$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{π}{12}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.3

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $8$ को मिलाएं.

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.5.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.5.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.3.6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 2.3.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 2.3.8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 2.3.9

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 2.3.9.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.3.9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.3.9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.3.9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 2.3.10

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 2.3.11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 2.3.12

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

चरण 2.3.13

सरल करें.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

चरण 2.3.14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.14.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $t + \frac{π}{12}$ से बदलें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

चरण 2.3.14.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

चरण 2.3.14.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $t + \frac{π}{12}$ से बदलें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

चरण 2.3.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

चरण 2.3.15.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

चरण 2.3.15.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

चरण 2.3.15.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

चरण 2.3.15.3

$\sin (2 t + \frac{π}{6})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

चरण 2.3.15.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

चरण 2.3.15.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.5.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.5.1.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.15.5.2.1

$- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.2.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

चरण 2.3.15.5.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

चरण 3

$t$ के लिए $0$ और $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ में $s$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

चरण 4.2.1.1.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

चरण 4.2.1.1.3

$0$ और $\frac{π}{6}$ जोड़ें.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 3$

चरण 4.2.1.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 3$

चरण 4.2.1.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.5.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 3$

चरण 4.2.1.2

$0$ और $\frac{π}{3}$ जोड़ें.

$\frac{π}{3} - 1 + K = 3$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{π}{3}$ घटाएं.

$- 1 + K = 3 - \frac{π}{3}$

चरण 4.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$K = 3 - \frac{π}{3} + 1$

चरण 4.3.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$K = 4 - \frac{π}{3}$

चरण 5

$4 - \frac{π}{3}$ को $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4 - \frac{π}{3}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$

चरण 5.2

$4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

चरण 5.2.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

चरण 5.3

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

चरण 5.4

$4 t$ और $0$ जोड़ें.

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$