कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = v$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

चरण 2.2

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

चरण 2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

चरण 2.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

चरण 3.2

$v$ के संबंध में $\frac{1}{v}$ का इंटीग्रल $\ln (| v |)$ है.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

चरण 3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C_{3}$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

चरण 4

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

चरण 4.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| v |) = x + C_{3}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x + C_{3}} = | v |$

चरण 4.3

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण को $| v | = e^{x + C_{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| v | = e^{x + C_{3}}$

चरण 4.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{x + C_{3}}$ को $e^{x} e^{C_{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

चरण 5.2

$e^{x}$ और $e^{C_{3}}$ को पुन: क्रमित करें.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

चरण 5.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = C_{4} e^{x}$

चरण 6

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

चरण 7

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

चरण 8

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

चरण 8.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूँकि $C_{4}$ बटे $x$ अचर है, $C_{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

चरण 8.3.2

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

चरण 8.3.3

सरल करें.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

चरण 8.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

चरण 8.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = e^{x} C + D$