कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 3 d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- 3 x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 3 x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- 3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से गुणा करें.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

चरण 2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

चरण 2.4

घातांक जोड़कर $e^{- 3 x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

चरण 2.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

चरण 2.4.3

$x$ में से $3 x$ घटाएं.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

चरण 2.5

$\frac{1}{2}$ और $e^{- 2 x}$ को मिलाएं.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

चरण 2.6

गुणनखंडों को $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

चरण 6.2

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 6.2.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 6.2.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 6.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 6.3.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 6.4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 6.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

चरण 6.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

चरण 6.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 6.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 6.8

सरल करें.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 6.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

चरण 7

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- 3 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- 3 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{- 2 x}$ और $e^{- 3 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ में से $e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

$- \frac{1}{4} e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

चरण 7.3.1.2

$e^{x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$