कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

चरण 1.2

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x) + C_{2}$ है.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\arctan (x) + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\arctan (x) + C} = | y + 1 |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + 1 = \pm e^{\arctan (x) + C}$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \pm e^{\arctan (x) + C} - 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\arctan (x) + C}$ को $e^{\arctan (x)} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C} - 1$

चरण 4.2

$e^{\arctan (x)}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)} - 1$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\arctan (x)} - 1$