कैलकुलस उदाहरण

$y d x + 2 x d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y d x$ घटाएं.

$2 x d y = - y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3.2

$2$ और $\frac{1}{x y}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

चरण 3.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{x y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

चरण 3.5.2

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (y^{2} | x |) = C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y^{2} | x |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y^{2} | x |$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $y^{2} | x | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} | x | = e^{C}$

चरण 5.5.2

$y^{2} | x | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $| x |$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$y^{2} | x | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $| x |$ से विभाजित करें.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

चरण 5.5.2.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

चरण 5.5.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

चरण 5.5.4

$\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ को $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

चरण 5.5.4.2

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ को $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

चरण 5.5.4.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.1

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ को $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

चरण 5.5.4.3.2

$\sqrt{| x |}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

चरण 5.5.4.3.3

$\sqrt{| x |}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

चरण 5.5.4.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

चरण 5.5.4.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

चरण 5.5.4.3.6

${\sqrt{| x |}}^{2}$ को $| x |$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.6.1

$\sqrt{| x |}$ को ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.5.4.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.5.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.5.4.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.5.4.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

चरण 5.5.4.3.6.5

सरल करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

चरण 5.5.4.4

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

चरण 5.5.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

चरण 5.5.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.