कैलकुलस उदाहरण

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ के प्रत्येक पद को $4 + x^{6}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ के प्रत्येक पद को $4 + x^{6}$ से विभाजित करें.

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$4 + x^{6}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

चरण 1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y} \cdot \frac{1}{4 + x^{6}}$

चरण 1.1.3.2

$\frac{x^{5}}{y}$ को $\frac{1}{4 + x^{6}}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{(4 + x^{6}) y}$

चरण 1.4.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$(4 + x^{6}) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

चरण 1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

चरण 1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x^{6}$ को ${(x^{6})}^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + {(x^{6})}^{1}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{1} = x^{6}$ .फिर $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{1} = x^{6}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$x^{6}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

चरण 2.3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$6 x^{5}$

चरण 2.3.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

चरण 2.3.3.2

$\frac{1}{4 + u_{1}}$ को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(4 + u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

चरण 2.3.3.3

$6$ को $4 + u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{6 (4 + u_{1})} d u_{1}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{4 + u_{1}} d u_{1}$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u_{2} = 4 + u_{1}$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u_{2} = 4 + u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$4 + u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [4 + u_{1}]$

चरण 2.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $4 + u_{1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.3.5.1.3

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 2.3.5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.3.5.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.8

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 + u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + u_{1} |) + C_{2}$

चरण 2.3.8.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{6}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{6}$ और $\ln (| 4 + x^{6} |)$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C)$

चरण 3.2.2.1.2

$C$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

चरण 3.2.2.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$C$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

चरण 3.2.2.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{6}$

चरण 3.2.2.1.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.3.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 (3)}$

चरण 3.2.2.1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 \cdot 3}$

चरण 3.2.2.1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{3}$

चरण 3.2.2.1.4

$6$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ को $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.2

$\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.4.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.3.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.4.3.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.4.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.4.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.4.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.4.4

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$

चरण 3.4.5

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$