कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 1.3

$\frac{2 y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 1.4

$y$ और $\frac{2}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 2.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

चरण 3.4

$x$ और $\frac{\sin (x)}{x}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 3.5

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 3.5.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

चरण 8

$x^{2} y = - \cos (x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{2} y = - \cos (x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 9

$x$ के लिए $2$ और $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

चरण 10

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

चरण 10.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

चरण 10.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

चरण 10.2.1.3

$0.99939082$ को $4$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

चरण 10.2.1.4

$- 1$ को $0.2498477$ से गुणा करें.

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

चरण 10.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

चरण 10.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $0.2498477$ जोड़ें.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

चरण 10.3.2

$1$ और $0.2498477$ जोड़ें.

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

चरण 10.4

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

चरण 10.5

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

चरण 10.5.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

चरण 10.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$4$ को $1.2498477$ से गुणा करें.

$C = 4.99939082$

चरण 11

$4.99939082$ को $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$4.99939082$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$