कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

चरण 1

समीकरण को $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{x}$ से गुणा करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

चरण 3.3

गुणनखंडों को $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

चरण 7.7

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

चरण 7.8

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

चरण 7.9

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

चरण 7.10

सरल करें.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

चरण 8

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.3

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$- 2 x e^{x}$ और $2 x e^{x}$ जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.3.2

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.3.3

$2 e^{x}$ में से $2 e^{x}$ घटाएं.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

चरण 8.3.3.4

$x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$